A Cada Dia Ou À Cada Dia
Uso correto: a cada dia ou à cada dia
A forma certa é a cada dia, sem crase. A preposição "a" já está presente em "cada", e o "à" só aparece quando há fusão da preposição "a" com o artigo definido feminino "a". Como "cada" é um pronome indefinido, não admite artigo, então a crase não ocorre. O teste mais direto é trocar "cada dia" por um substantivo feminino que aceite artigo. Se você pode dizer "àquele dia" ou "àquela hora", aí sim a crase seria possível. Com "cada", isso simplesmente não funciona. Você não diz "à cada" do mesmo jeito que não diz "à nenhum" ou "à alguns". Eu trabalhava numa revisora de textos jornalísticos e recebia diariamente artigos com "à cada dia" no corpo do texto. A correção era sempre a mesma: tirar o acento grave. O problema é que muitos revisores juniores deixavam passar porque não tinham confiança na regra. Um colega meu costumava explicar assim: "cada" é indeterminado, e indeterminados não levam artigo. Sem artigo, não tem crase. Ponto.
O que acontece na prática é que o brasileiro fala muito com crase por padrão em locuções adverbiais. "Às vezes", "à noite", "à medida que" — todas aceitam crase porque têm artigo. A mente do revisor tende a generalizar esse padrão, e "à cada dia" acaba surgindo como um erro muito comum, especialmente em textos formais onde a escrita soa mais cuidada e o revisor menos atento aos detalhes. Outro ponto que poucos lembram: a expressão "a cada" funciona como uma locução prepositiva invariável. Isso significa que ela não muda independente do gênero ou número do substantivo que vem depois. Você diz "a cada dia", "a cada noite", "a cada vez", "a cada pessoa". Sempre com "a" separado, nunca com crase. É uma regra rígida porque "cada" sempre funciona como determinante, e determinantes não compatibilizam com artigo definido. Se você estiver em dúvida em tempo real, existe uma alternativa rápida: substitua "a cada" por "todos os". "Todos os dias chove mais" soa natural. "À todos os dias" soa absurdo. Essa troca funciona como um teste prático em qualquer situação.
Um detalhe que complica as coisas: em alguns contextos, especialmente em português europeu mais antigo, aparecem construções como "à cada momento" em textos literários. Isso é arcaísmo, não norma culta contemporânea. Se você está escrevendo para um publicador, corretor ou concurso, use sempre "a cada". A variante com crase é considerada erro gramatical nas gramáticas normativas atuais, incluindo a do Celso Pedro Luft e a do Evanildo Bechara.

Galeria
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Super Partituras - A Cada Dia v.3 (Luiz Pedro Silva Paulo) -
Mini estante literária: A cada dia de David Levithan -
À cada dia À cada momento À cada... Meryellen Rangel. - Pensador