Domínio Contradomínio E Imagem Exercícios Resolvidos

Entendendo domínio, contradomínio e imagem na prática

A maioria dos alunos confunde os três conceitos porque os livros definem tudo de uma vez só. Na verdade, você precisa separar mentalmente o que é entrada, o que é o conjunto de chegada e o que efetivamente aparece como saída. Vou explicar na ordem que faz sentido para resolver exercícios sem perder tempo. Pegue uma função f: A B. O domínio é o conjunto A, o contradomínio é o conjunto B. A imagem é o subconjunto de B formado pelos valores que realmente são atingidos pela função. Parece óbvio até encontrar uma função com raiz quadrada ou divisão por variável no denominador. No domínio, você exclui o que não faz sentido. Se a função tem raiz quadrada, o conteúdo dentro dela precisa ser maior ou igual a zero. Se tem fração, o denominador não pode ser zero. Se tem logaritmo, a argumentação precisa ser positiva. São as regras básicas que todo exercício cobrado no ensino médio exige.

Já o contradomínio é dado pelo enunciado. É o conjunto que recebe os valores de saída. Muitas vezes as pessoas acham que precisam calcular algo extra, mas na verdade é só ler qual é o conjunto B no enunciado. O erro comum é achar que imagem é sinônimo de contradomínio. Não é. A imagem é um subconjunto do contradomínio. Para encontrar a imagem, você analisa os possíveis valores de saída. Quando a função é linear do tipo f(x) = ax + b, o imagem é todo o contradomínio, desde que o contradomínio seja ℝ. Quando a função é quadrática, o imagem é limitado pelo vértice. Se o coeficiente de x² for positivo, a imagem vai do valor do vértice para cima. Se for negativo, vai do menos infinito até o valor do vértice. Funções trigonométricas têm imagem sempre entre -1 e 1 quando estão na forma padrão. Quando o exercício pede o domínio de uma função composta, a regra é simples mas fácil de esquecer na pressa. Você precisa que a função de fora tenha domínio definido para os valores que a função de dentro gera. Na prática, isso significa resolver duas condições ao mesmo tempo. O domínio da composição é o conjunto de x tal que x está no domínio da função interna E o resultado da função interna está no domínio da função externa.

Vejo muitos alunos errarem em exercícios com funções definidas por partes. O domínio não é automaticamente a reunião de todos os pedaços. Cada pedaço tem sua própria restrição de domínio. Se uma parte diz que vale apenas para x 2 e outra para x > 2, o domínio geral é ℝ. Mas se uma parte tiver (x-3) e estiver restrita a x

1, esse pedaço não contribui para o domínio porque não há interseção possível. É um detalhe que parece bobo mas aparece em prova.

domínio contradomínio e imagem exercícios resolvidos

Vou mostrar alguns exercícios que cubrem os casos mais cobrados e onde as pessoas costumam tropeçar. Exercício 1: Determine o domínio, contradomínio e imagem de f: ℝ ℝ definida por f(x) = 3x - 7. O domínio é ℝ porque não há restrição alguma em uma função afim. O contradomínio foi dado pelo enunciado como ℝ. Para a imagem, como f é linear com coeficiente angular diferente de zero, ela assume todos os valores reais. Imagem é ℝ.

Exercício 2: Determine o domínio de f(x) = (x² - 4). A expressão dentro da raiz precisa ser maior ou igual a zero. Entãox² - 4 0. Fatorando: (x - 2)(x + 2) 0. As raízes são 2 e -2. O sinal do trinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes. Domínio: (-, -2] [2, ). A imagem: como a raiz quadrada sempre devolve valores não negativos, a imagem é [0, ). Note que a imagem não depende do contradomínio dado. Se o exercício dissesse que o contradomínio é ℤ, a imagem ainda seria [0, ), só que aí a função não seria sobrejetora.

Exercício 3: Determine o domínio de f(x) = 1/(x² - 5x + 6). O denominador não pode ser zero. x² - 5x + 6 = 0 dá x = 2 e x = 3. Domínio: ℝ \ {2, 3}. Ou seja, (-, 2) (2, 3) (3, ). Para a imagem, observe que quando x se aproxima de 2 ou 3, o valor da função tende a infinito. Quando x é muito grande, a função tende a zero. A função nunca atinge zero porque o numerador é constante diferente de zero. A imagem é ℝ \ {0}.

Exercício 4: Seja f: ℝ ℝ definida por f(x) = -x² + 4x - 3. Encontre o domínio, contradomínio e imagem. O domínio é ℝ. O contradomínio é ℝ conforme dado. Para a imagem, encontramos o vértice. x_v = -b/(2a) = -4/(-2) = 2. O valor do vértice é f(2) = -4 + 8 - 3 = 1. Como a parábola abre para baixo (a = -1

0), a imagem é (-, 1]. Exercício 5: Determine o domínio de f(x) = log(x² - 3x + 2).

O logaritmo só existe para argumento positivo. x² - 3x + 2 > 0. As raízes são x = 1 e x = 2. O trinômio é positivo fora do intervalo aberto entre as raízes. Domínio: (-, 1) (2, ). Observe o detalhe: é estritamente maior que zero, não maior ou igual. Logaritmo de zero não existe. Exercício 6: Determine o domínio da função composta f(g(x)) onde f(x) = x e g(x) = x - 5. f(g(x)) = (x - 5). Para a raiz existir, x - 5 0, então x 5. Domínio: [5, ). Agora vem o detalhe que muita gente erra: também precisamos que g(x) esteja no domínio de f. O domínio de f é [0, ). Então precisamos g(x) 0, ou seja, x - 5 0. Chega no mesmo resultado aqui, mas em composições mais complexas as duas condições podem ser diferentes.

Esse problema específico que citei aparece com frequência quando o professor tenta confundir com funções inversas. Já vi alunos tentarem aplicar a fórmula da função inversa diretamente em funções que nem eram bijetoras. Se a função não for injetora, ela não tem inversa definida no sentido tradicional, e qualquer exercício que peça para "encontrar a inversa" de uma parábola sem restringir o domínio é uma pegadinha intencional. A resposta certa é restringir o domínio primeiro para torná-la injetora, depois achar a inversa. Costumo colocar isso nos exercícios de fixação porque separa quem decorou o procedimento de quem entende de fato. Exercício 7: Determine a imagem de f(x) = (2x + 1)/(x - 3). Essa é uma função racional. O jeito mais rápido é analisar o comportamento assintótico. A assíntota vertical é x = 3. A assíntota horizontal é y = 2 (razão dos coeficientes diretores). A função nunca atinge y = 2 porque se você tentar resolver 2 = (2x + 1)/(x - 3), chega a 2x - 6 = 2x + 1, que dá -6 = 1, impossível. Imagem: ℝ \ {2}.

Exercício 8: Seja f: [-1, 3] ℝ definida por f(x) = x² - 2x. Encontre a imagem. O domínio está restrito a [-1, 3]. O vértice da parábola está em x = 1, que está dentro do intervalo dado. f(1) = 1 - 2 = -1. Agora avaliamos as extremidades: f(-1) = 1 + 2 = 3 e f(3) = 9 - 6 = 3. A imagem é [-1, 3]. Note que o fato de o domínio ser fechado e limitado garante que a imagem também será um intervalo fechado, pelo teorema do valor extremo. Isso não vale para domínios abertos ou ilimitados. Um ponto que raramente explicam nos exercícios básicos é o caso de funções definidas implicitamente. Às vezes o enunciado não te dá f(x) = ... mas sim uma relação como y² = x. Nesse caso, para cada x positivo temos dois valores de y, o que significa que não temos uma função no sentido estrito a menos que restrinjamos y 0 ou y 0. Alunos que não percebem isso tratam a relação inteira como função e cometem erros grosseiros ao calcular imagem e domínio. A correção é sempre perguntar se a relação realmente define y como função de x.

Também vale notar que exercícios que misturam função modular com outros tipos de função tendem a gerar erros de cálculo no domínio. O módulo muda o sinal da expressão dentro dele dependendo do valor de x. A abordagem correta é estudar o sinal da expressão interna, dividir o eixo real nos pontos críticos e analisar cada intervalo separadamente. Não adianta tentar "adivinhar" o domínio olhando a função como um todo. O processo é mecânico mas exige atenção aos sinais. O erro mais frequente que eu vejo em correções de simulados é a confusão entre imagem e contradomínio em funções cuja imagem é própria do contradomínio. O aluno escreve a imagem como sendo igual ao contradomínio sem verificar se realmente todos os valores são atingidos. Isso é grave porque a pergunta pode pedir especificamente se a função é sobrejetora, e a resposta depende exclusivamente dessa diferença.