Em Uma Escola Circulam Dois Jornais

Resolvendo problemas de conjuntos com jornais escolares

O problema clássico que aparece todo ano em listas de exercícios e provas dice mais ou menos assim: em uma escola circulam dois jornais, o Jornal A e o Jornal B. N% dos alunos leem o jornal A, M% leem o jornal B, e K% leem ambos. Aí pedem para você descobrir quantos leem pelo menos um, quantos leem apenas um, quantos não leem nenhum, etc. Achei que era simples na primeira vez que vi. Fucei a lógica e percebi que tem uma armadilha que pega todo mundo.

em uma escola circulam dois jornais — o que realmente acontece

Você tem duas coleções de alunos. Uma coleção lê o jornal A. Outra lê o jornal B. Elas se sobrepõem. O ponto que as pessoas erram é somar as porcentagens direto. Se 70% leem o jornal A e 60% leem o jornal B, não dá pra falar que 130% leem pelo menos um. Já passou do máximo. A interseção precisa ser descontada. A fórmula que funciona é a união de conjuntos. O princípio da inclusão e exclusão: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B)

Traduzindo para o dia a dia: pegue a porcentagem dos leitores do jornal A, some com a dos leitores do jornal B, e subtraia quem está em ambos. O resultado é a proporção de alunos que leem pelo menos um dos dois jornais. Para quem não lê nenhum, é só completar até 100%. Se a união deu 90%, os outros 10% não leem nenhum dos jornais circulantes na escola. Se a pergunta for sobre quem lê apenas um dos jornais, aí você separa os casos. Apenas o jornal A é n(A) menos a interseção. Apenas o jornal B é n(B) menos a interseção. Some esses dois resultados se quiser o total de leitores exclusivos.

Eu tenho um exemplo prático que costumo usar. Em uma escola com 500 alunos, 320 leem o jornal A, 250 leem o jornal B, e 120 leem os dois. A união dá 320 mais 250 menos 120, que é 450 alunos. Isso significa que 50 alunos não leem nenhum dos jornais. Quem lê só o jornal A são 200. Quem lê só o jornal B são 130. A soma dessas duas fatias exclusivas mais a interseção confirma os 450. Um erro comum que eu vejo bastante é assumir que a interseção é sempre o menor número entre as duas categorias. Isso não é regra. Às vezes a interseção é pequena, às vezes é enorme. Tem ocasião em que quase todos os leitores de um dos jornais também leem o outro. O problema só diz o que ele diz. Você não inventa número. Outra coisa que as pessoas confundem é a diferença entre "leem os dois" e "leem pelo menos um". A primeira é só a interseção. A segunda é a união. São coisas distintas e a resposta muda completamente dependendo de qual a pergunta pede.

Se o enunciado não fornece a interseção diretamente, mas fala que X% não leem nenhum jornal, aí você inverte o processo. Começa pela complementares. Se 15% não leem nenhum, a união é 85%. Daí você usa a mesma fórmula para encontrar a interseção: n(A B) = n(A) + n(B) - n(A B). É a mesma equação, só organizada de outro jeito. Tem ainda o caso em que o problema dá apenas a diferença entre leitores exclusivos e pede algo indireto. Aí você monta um sistema simples com duas incógnitas. Nada complicado, só álgebra básica aplicada a conjuntos. O que costuma travar mesmo é quando o enunciado vem com dados incompletos ou redundantes. Eu já vi questão que informava o total de alunos, a porcentagem de leitores de cada jornal, a interseção e ainda a quantidade de não leitores. Três desses dados sobram. O resto é só verificar consistência. Se os números não fecham, o problema está mal formulado e não adianta insistir. O certo é checar se n(A B) não ultrapassa o total de alunos e se a interseção não excede nenhum dos conjuntos individuais.

Na prática, eu recomendo desenhar o diagrama de Venn sempre. Até quando os números são pequenos, o desenho evita confusão visual. Você traça dois círculos que se sobrepõem, preenche a interseção primeiro, depois as partes exclusas de cada círculo, e por fim conta o que sobra fora dos círculos. Leva trinta segundos e economiza meia hora de dúvida. Se você estiver resolvendo isso em planilha, coloque os dados em três células: total de leitores do jornal A, total de leitores do jornal B, total de leitores de ambos. A célula da união é a soma das duas primeiras menos a terceira. A célula dos que não leem nada é o total da escola menos a união. Simples e à prova de erro de digitação, desde que você bloqueie as referências corretamente. Um limite honesto desse método é que ele funciona bem quando os dados são percentages ou totais fechados. Quando o problema traz faixas etárias, turmas diferentes ou amostras parciais, a coisa complica. Aí entra a estatística de levantamentos e você precisa tratar a amostragem como outra variável. Não tente forçar o princípio da inclusão e exclusão em dados que já vêm distorcidos por viés de seleção. A matemática dos conjuntos não corrige erro de coleta.

Se o seu objetivo é só responder exercícios, o caminho é esse. Se o seu objetivo é aplicar isso em uma situação real de divulgação escolar, a leitura de jornais depende de fatores que o conjunto sozinho não captura: horário de distribuição, interesse por tema, disponibilidade de acesso digital. O modelo de conjuntos serve como baseline, mas não substitui pesquisa de campo. Para encontrar mais exemplos práticos, procure por "provas de conjuntos ensino médio" ou "exercícios princípio da inclusão e exclusão". A maioria dos materiais didáticos brasileiros traz variações desse mesmo problema com jornais, revistas ou esportes. A estrutura é a mesma. Só mudam os nomes e os números. O que eu gostaria que fosse mais claro nos livros é justamente a parte de validar os dados antes de calcular. Se a interseção for maior que um dos conjuntos, ou se a união ultrapassar o universo, algo está errado. Parar nesse ponto e revisar o enunciado evita resposta errada disfarçada de acerto.

Resumindo sem resumo: use a união menos a interseção, valide os números, desenhe o diagrama e não invente dados que o problema não deu. O resto é conta mesmo.