Em Uma Turma De Uma Escola Há 90 Alunos

Como resolver problemas de contagem e probabilidade com turmas grandes

em uma turma de uma escola há 90 alunos — e a maioria dos exercícios começa exatamente aí

Você já deve ter visto esse tipo de questão dezenas de vezes: "Em uma turma de 90 alunos, 45 praticam futebol, 38 praticam vôlei e 20 praticam ambos. Quantos não praticam nenhum esporte?" A resposta parece óbvia quando você sabe o caminho, mas na prática, principalmente com turmas nesse tamanho, os números começam a complicar rápido. O que separa quem acerta de quem erra não é conhecimento avançado de matemática. É saber identificar o tipo de problema antes de começar a calcular. Eu resolvo esse tipo de questão todo dia — não como professor, mas como alguém que corrige provas e vê os mesmos erros se repetirem. Vou explicar o que funciona e, mais importante, onde as pessoas travam. Primeiro passo: classifique o problema. Existem basicamente três categorias que aparecem em 95% dos exercícios envolvendo turmas grandes. A primeira é o problema de conjunto com sobreposição, que é aquele esquema de esportes ou idiomas que citei acima. A segunda é combinação pura, quando a pergunta é "de quantas formas posso escolher X pessoas entre 90?". A terceira é probabilidade condicional, que é onde a maioria dos alunos perde pontos porque não lê a pergunta com atenção.

No problema de conjunto, a ferramenta é o princípio de inclusão-exclusão. Para dois conjuntos, a fórmula é simples: |A B| = |A| + |B| - |A B|. No exemplo que citei: 45 + 38 - 20 = 63 alunos praticam pelo menos um esporte. Subtraía-se do total, e 90 - 63 = 27 não praticam nenhum. Se o exercício usar três conjuntos, a fórmula expande para |A B C| = |A| + |B| + |C| - |A B| - |A C| - |B C| + |A B C|. O erro mais comum aqui é esquecer o último termo, o-interseção-triplo. Eu vejo isso o tempo todo.

Problema de agrupamento: quando a ordem não importa

Se a pergunta é "quantos grupos de 5 alunos podem ser formados a partir de 90?", isso é uma combinação simples. A fórmula C(n,k) = n! / (k!(n-k)!). Para 90 escolhidos 5 a 5, o cálculo dá aproximadamente 43 milhões de combinações possíveis. O número é grande, e é exatamente esse tipo de questão que faz os alunos travarem porque acham que precisam calcular o fatorial inteiro. Aqui vai uma dica prática que não ensinam na escola: você nunca precisa calcular o fatorial completo. Quando o numerador e o denominador compartilham fatores, eles se cancelam. Para C(90,5), você escreve 90 × 89 × 88 × 87 × 86 dividido por 5 × 4 × 3 × 2 × 1. O 5 cancela com o 90 (sobra 18), o 4 cancela com o 88 (sobra 22), o 3 cancela com o 18 (sobra 6), o 2 cancela com o 86 (sobra 43). O resultado é 6 × 89 × 22 × 87 × 43, que dá o mesmo número, mas sem precisar de uma calculadora científica. Se a ordem dos elementos importar — por exemplo, "de quantas formas podemos eleger uma presidente, um vice e um tesoureiro entre 90 alunos?" — aí é arranjo, não combinação. A diferença é que C(90,3) dá cerca de 117 mil resultados, enquanto A(90,3) = 90 × 89 × 88 = 704.280. O triplo mais ou menos. Confundir arranjo com combinação é o erro número um em provas de concurso.

Probabilidade com turmas de 90 alunos

Probabilidade em turmas grandes segue a mesma lógica básica: casos favoráveis dividido por casos possíveis. Mas o difícil mora nos detalhes. Quando a pergunta pede "qual a probabilidade de que, ao sortear dois alunos, ambos sejam do gênero masculino?" e informa que 52 dos 90 alunos são homens, a resposta não é (52/90) × (52/90). Isso seria com reposição, ou seja, o primeiro aluno sorteadpoderia ser o mesmo que o segundo. Em sorteios reais de pessoas, tira-se um e não devolve. A probabilidade correta é (52/90) × (51/89) 0,332. A diferença parece pequena, mas com problemas maiores fica substancial. Eu já corrigi provas onde o aluno calculou probabilidade de retirada sem reposição como se fosse com reposição, e o erro multiplicou em cada etapa posterior. O problema é que, na maioria das questões, o enunciado não diz explicitamente "sem reposição". Você tem que inferir pelo contexto. Sorteio de dois alunos diferentes da turma? Sem reposição. Sortear um aluno, anotar, devolver à turma e sortear outro? Com reposição. Um caso específico que dá bastante trabalho são os problemas de probabilidade condicional com tabelas de contingência. Imagine que você tem uma tabela assim: 90 alunos, distribuídos por sexo e prática de esportes. A pergunta é "sabendo que o aluno praticava vôlei, qual a probabilidade de ser do gênero feminino?" Nesse caso, o espaço amostral muda. Não é mais 90. É só o número de praticantes de vôlei. A probabilidade é (mulheres que praticam vôlei) dividido por (total de praticantes de vôlei). Se 22 mulheres praticam vôlei e o total de praticantes é 38, a resposta é 22/38 0,579. O erro comum é dividir pelo total da turma, 90, o que torna o resultado errado por um fator de quase três.

Armadilhas comuns que eu vejo todo dia

A principal é a confusão entre eventos independentes e dependentes. Dois eventos são independentes quando o resultado de um não afeta o do outro. Extrair uma carta de um baralho, anotar, devolver, embaralhar e extrair outra: independência. Extrair duas cartas sem devolver a primeira: dependência. Em turmas de 90, a dependência é a regra, não a exceção, porque o número de pessoas é finito. Mas os exercícios muitas vezes tentam disfarçar isso. Outra armadilha recorrente é o que chamamos de "falácia do apostador". O aluno pensa: "Já saíram cinco meninos seguidos no sorteio, então agora a probabilidade de sair uma menina é maior." Isso é errado se os sorteios forem sem reposição e os elementos não forem repostos. A probabilidade se ajusta dinamicamente, mas não de forma mágica. Cada sorteio depende estritamente do estado atual do conjunto. Um terceiro problema que aparece com frequência é a interpretação de dados estatísticos descritos em texto. "Em uma turma de 90 alunos, a média de idade é 15,2 anos e o desvio padrão é 0,8 anos. Quantos alunos têm entre 14,4 e 16 anos?" A resposta imediata que muitos dão é aplicar a regra empírica da normal (68-95-99,7). O intervalo 14,4 a 16 corresponde aproximadamente a ± , o que daria cerca de 68% dos alunos, ou 61 alunos. Mas a regra empírica só se aplica se a distribuição for normal, e nenhuma questão desses exercícios garante isso. O correto é marcar que não é possível determinar com precisão sem informações adicionais sobre a distribuição. Se a banca quiser resposta numérica, aí sim ela vai assumir normalidade, mas o aluno que identifica a limitação mostra compreensão real do conteúdo.

Quando o método não funciona

Todo esse raciocínio parte do pressuposto de que os dados são confiáveis e consistentes. Na prática, encontrei vezes em que os números do enunciado eram impossíveis. Por exemplo: turma de 90 alunos, 70 fazem inglês, 60 fazem espanhol e 45 fazem ambos. Pela fórmula de inclusão-exclusão, 70 + 60 - 45 = 85, o que significa que 5 não fazem nenhum. Até aqui tudo bem. Mas se a pergunta seguinte fosse "quantos fazem apenas inglês?", a resposta seria 70 - 45 = 25. E se em seguida dissesse que 30 fazem apenas inglês, o problema estaria internamente inconsistente. Eu já perdi tempo revisando esse tipo de questão pensando que estava errando, quando o erro era do próprio enunciado. O melhor workaround nesse caso é anotar a inconsistência e pedir esclarecimento. Em provas, marcar a alternativa que usa os dados como apresentados, mesmo que logicamente impossíveis, porque a correção seguirá a lógica do enunciado e não a lógica real. Outro cenário onde a abordagem tradicional falha é quando o enunciado usa termos vagos como "alguns", "vários" ou "certo número de alunos". Sem dados numéricos precisos, nenhuma conta resolve. Nesses casos, a resposta honesta é que o problema é indeterminado. Já vi alunos tentarem atribuir valores arbitrários e chegar a conclusões que pareciam plausíveis mas não tinham base nenhuma. Não faça isso. Escreva que falta informação e pare.

Um resumo prático

Para resolver problemas com turmas de 90 alunos, o processo é sempre o mesmo: identifique a estrutura, traduzir o texto para notação matemática, escolher a ferramenta certa e executar com cuidado. Não pule etapas. Anote o que sabe e o que precisa descobrir antes de tocar em qualquer fórmula. A maioria dos erros acontece porque o aluno começa a calcular antes de entender o que está sendo pedido. Os recursos para praticar estão disponíveis gratuitamente. Sites de disciplinas de matemática do ensino médio brasileiro publicam listas comentadas com esse tipo de questão. A vantagem de resolver com 90 alunos como base, em vez dos clássicos 30 ou 40, é que os números maiores forçam você a trabalhar com cancelamentos e simplificações, o que é exatamente o que você encontrará em provas reais.