Exercicio De Fração Geratriz

Como resolver exercício de fração geratriz

O exercício de fração geratriz aparece praticamente em todo teste de matemática do ensino médio e em processos seletivos que cobram fundamentos. A ideia é transformar uma dízima periódica em fração. Parece simples até você se deparar com um caso mais chato e cometer o erro clássico de esquecer o período na hora de montar a conta. A fração geratriz é a representação fracionária exata de um número decimal periódico. Quando você vê 0,333..., ela vira 1/3. Quando vê 0,121212..., ela vira 4/33. O processo é o mesmo, só muda a quantidade de algarismos que se repetem. O método base é direto. Você pega o número periódico, subtrai dele a parte não periódica (quando existir), e divide pelo resultado de tantos noves quantos forem os dígitos do período, seguidos de tantos zeros quantos forem os dígitos da parte não periódica. É isso. Nada de mágica.

Vou mostrar com um exemplo que eu vejo os alunos errarem frequentemente: 2,3555... O período aqui é o algarismo 5, que se repete infinitamente. A parte não periódica é 35. O cálculo fica assim: subtraia a parte sem repetição do número completo, desprezando a vírgula. Na verdade, o jeito mais seguro é usar a equação. Você define x = 2,3555... Multiplica por 10 para deslocar a vírgula até o início do período: 10x = 23,555... Multiplica por 100 para deslocar até o segundo dígito do período: 100x = 235,555... Agora subtraia a primeira equação da segunda: 100x - 10x = 235,555... - 23,555... O que sobra é 90x = 212. Então x = 212/90. Simplificando, divide tudo por 2 e chega em 106/45.

Esse é o caminho que funciona para qualquer caso. A fórmula rápida com noves e zeros é só um resumo desse procedimento, então não decorada ela de coração se você não entender de onde ela vem. Da primeira vez que tentei ensinar isso usando apenas a regra dos noves, dois alunos da minha turma erraram justamente porque confundiram quando colocar zero e quando colocar nove. Eles aplicavam o atalho sem saber o porquê.

O erro que todo mundo comete

O problema mais comum é não conseguir identificar corretamente o período e a parte não periódica. Pegue 1,428571428571... Aqui o período é 428571, que tem seis dígitos. Muita gente acha que o período é só 428 ou 571, porque o número parece ter padrões menores. Mas o período é a menor sequência que se repete intacta. Nesse caso, é o bloco inteiro de seis dígitos. Outro erro frequente é simplificar a fração final eerrar na divisão. Depois de chegar em 106/45, alguns alunos param aí achando que já simplificou ao máximo. 106 e 45 não têm divisor comum além de 1, então está certo. Mas em casos como 212/90, esquecem de dividir pelos fatores comuns e deixam a fração com números maiores do que precisam estar. Um problema específico que eu enfrenteiRecently envolveu a dízima 0,1666.... Um aluno chegou e afirmou que a fração geratriz era 1/6. Ele estava certo no resultado, mas o caminho dele estava errado. Ele tinha identificado o período como 6, mas a parte não periódica era 1. O cálculo correto é: x = 0,1666..., 10x = 1,666..., 100x = 16,666..., então 100x - 10x = 16,666... - 1,666... dá 90x = 15, e x = 15/90 = 1/6. Ele tinha chegado no resultado certo por acaso, pulando etapas. Quando fiz uma variação com 0,2777..., ele travou completamente porque o atalho mental que ele tinha criado não se aplicava mais.

A lição é simples: aprenda o método das equações. Funciona para todo caso, independente do tamanho do período ou da parte não periódica. A fórmula com noves e zeros é válida, mas só se você souber exatamente quando e como aplicá-la.

Casos mais complexos

Quando o período é grande, como em 0,123456123456..., o método não muda. O período tem seis dígitos. X = 0,123456123456..., 10^6 * x = 123456,123456..., então 999999x - x = 123456, o que dá x = 123456/999999. Aí você simplifica dividindo pelo máximo divisor comum. Nesse caso específico, MDC de 123456 e 999999 é 3, então a fração simplificada é 41152/333333. Se existir uma parte mista, como em 0,123333..., o período é 3 e a parte não periódica é 12. O cálculo seria: x = 0,123333..., 100x = 12,333..., 1000x = 123,333..., subtraindo: 900x = 111, então x = 111/900. Simplificando por 3: 37/300. O que as pessoas não consideram é que nem sempre a fração simplificada fica bonita. Às vezes você acaba com denominadores grandes como 27, 81, 999, ou até números primos. Isso é normal e não indica erro. Eu vejo aluno entrar em pânico quando o denominador não é 9, 99 ou 999 de forma óbvia, mas a conta tá certa mesmo assim.

Dica prática

Antes de fazer a conta completa, faça uma verificação rápida. Some os dígitos do numerador e do denominador da fração simplificada. Se o resultado for divisível por 9, existe uma chance real de a fração estar correta, porque frações geratrizes frequentemente envolvem números formados por repetições que têm relação com 9. Isso não é prova, é só uma pista. Mas economiza tempo quando você está resolvendo lista de exercícios e precisa checar várias contas seguidas. O exercício de fração geratriz em si não tem segredo. O segredo é não confiar em atalhos que você não entende, identificar corretamente o que é período e o que é parte não periódica, e simplificar a fração final quando possível. Se você seguir o método das equações passo a passo, não vai errar.