Exercicios De Dizima Periodica E Fração Geratriz

Como transformar dízima periódica em fração de verdade

A maioria dos alunos trava na hora de achar a fração geratriz porque tentam decorar regras sem entender o que acontece por baixo. Vou mostrar o mecanismo real, com exemplos práticos, e depois coloco uma lista de exercícios para treinar. O processo é basicamente álgebra elementar disfarçada. Você pega o número decimal, multiplica por potências de 10 para "alinhar" as partes periódicas, e subtrai. O resto é tudo. Vou começar pelo caso mais simples. Suponha a dízima 0,3333... A parte periódica é o algarismo 3. Multiplico por 10 porque há um dígito na repetição:

x = 0,3333... 10x = 3,3333... 10x - x = 3,3333... - 0,3333... = 3

9x = 3, então x = 3/9 = 1/3 Agora algo um pouco mais chato. Dízima 0,121212... com período "12". Dois algarismos na parte repetida, então multiplico por 100: x = 0,121212...

100x = 12,121212... 100x - x = 12,121212... - 0,121212... = 12 99x = 12, então x = 12/99. Simplificando por 3: 4/33

O erro mais comum que eu vejo é gente confundir período com anteperíodo. Isso muda completamente a conta. Se a dízima for 0,16666..., o 1 antes do 6 é anteperíodo, não parte do período. Aí a estratégia de multiplicar por 10 ou 100 direto falha. Para esse caso, você faz duas etapas. Primeiro separa a parte fixa da parte periódica. 0,16666... = 0,1 + 0,06666... Aí trabalha com a parte periódica separadamente. x = 0,06666...

10x = 0,6666... 100x = 6,6666... 100x - 10x = 6

90x = 6, então x = 6/90 = 1/15 Some com a parte fixa: 0,1 + 1/15 = 1/10 + 1/15 = 3/30 + 2/30 = 5/30 = 1/6 Confere: 1 dividido por 6 dá 0,16666... Exato.

Uma coisa que poucos ensinam é como lidar com dízimas com período grande. Já tive um aluno que recebeu 0,142857142857... O período tem 6 algarismos. A tentação é multiplicar por 10^6, o que funciona, mas a fração resultante é 142857/999999. Muita gente para aí e acha que pronto. O caminho certo é simplificar. 142857/999999 simplifica para 1/7. Reconhecer que esse período aparece na fração 1/7 é útil porque economiza tempo de simplificação e serve de verificação. Outro ponto que causa confusão: dízimas com anteperíodo longo e período também longo. O método funciona sempre, mas o risco de erro de cálculo aumenta proporcionalmente ao tamanho dos números. Eu recomendo fazer a conta em duas etapas visíveis no papel, sempre anotando qual equação corresponde a qual multiplicação. Quando o aluno tenta fazer tudo de cabeça com períodos grandes, o erro aparece na simplificação final e ele não consegue rastrear onde errou.

Exercícios para praticar

Segue uma lista variada, do básico ao que exige atenção com anteperíodo. Exercício 1: Encontre a fração geratriz de 0,7777... Exercício 2: Encontre a fração geratriz de 0,454545...

Exercício 3: Encontre a fração geratriz de 0,123123123... Exercício 4: Encontre a fração geratriz de 0,583333... Exercício 5: Encontre a fração geratriz de 0,272727...

Exercício 6: Encontre a fração geratriz de 0,416666... Exercício 7: Encontre a fração geratriz de 0,090909... Exercício 8: Encontre a fração geratriz de 0,315315315...

Exercício 9: Encontre a fração geratriz de 0,73529417352941... (período de 7 algarismos) Exercício 10: Encontre a fração geratriz de 0,148148148... Gabarito rápido para conferência:

1) 7/9 | 2) 5/11 | 3) 41/333 | 4) 7/12 | 5) 3/11 | 6) 5/12 | 7) 1/11 | 8) 13/41 | 9) 49/67 | 10) 148/999

Quando o método não resolve

Existe um grupo de dízimas que não tem fração geratriz racional. São os números irracionais, como pi e sqrt(2). Eles têm expansão decimal infinita sem período. Se um exercício pedir a fração geratriz de 3,14159..., a resposta é que não existe fração exata. Às vezes os professores passam exercícios assim só para testar se o aluno consegue distinguir período de não-período. Identificar isso pelo olhar já salva pontos. Também tem o caso prático em que a dízima é dada com aproximação, não como exata. Nesse cenário, você precisa decidir a precisão desejada antes de converter. Converter 0,333 para fração dá 333/1000, que é diferente de 1/3. A diferença é pequena mas relevante em cálculos subsequentes. Anotar sempre se o número é exato ou aproximação evita esse tipo de erro silencioso. Se você quer material em PDF com mais exercícios e resolução passo a passo, posso preparar uma lista organizada por nível de dificuldade e subir num link. É só pedir que eu monto.