Formula Arranjo Com Repetição

Análise combinatória na prática

Arranjo com repetição é um dos tópicos que mais gera confusão em provas e em projetos reais porque a diferença entre ele e arranjo simples não é intuitiva à primeira vista. O erro mais comum é tratar ambos da mesma forma e aplicar a fórmula básica de arranjos sem considerar se os elementos podem ou não se repetir. Aqui vai a definição direta. Arranjo com repetição calcula o número de ways de formar sequências ordenadas de k elementos a partir de um conjunto de n elementos, onde cada elemento pode ser escolhido mais de uma vez. A fórmula é:

Fórmula arrano com repetição

AR(n, k) = n^k Onde n é o número de elementos disponíveis e k é a quantidade de posições a preencher. É basicamente exponenciação, nada mais. O motivo pelo qual isso funciona é simples. Na primeira posição você tem n opções. Na segunda, também tem n opções, já que a repetição é permitida. Na terceira, n opções de novo. Multiplicando tudo: n × n × n... k vezes. Resultado: n^k. O problema é que a maioria das pessoas esquece esse raciocínio e Decorar a fórmula para depois errar na hora de identificar se k ou n está errado no enunciado.

Encontrei isso na prática há uns anos quando precisei calcular senhas compostas por dígitos para um sistema legado. O requisito era: senhas de 4 dígitos, dígitos de 0 a 9, ordem importa, repetição permitida. Arranjo com repetição puro. AR(10, 4) = 10^4 = 10.000 combinações. Parecia fácil até eu perceber que o sistema tinha uma restrição oculta que não estava no enunciado original: a senha não podia ter todos os dígitos iguais. Isso tira 10 casos do total, então a resposta real seria 9.990. O erro mais comum nesse tipo de situação é aplicar a fórmula cegamente sem ler todas as restrições do enunciado. Sempre leia duas vezes. Vamos a um exemplo mais comum. Suponha que você tenha 5 cores e quer pintar 3 faixas horizontais de uma bandeira, podendo repetir cores. AR(5, 3) = 5^3 = 125 possibilidades. A ordem das faixas importa, e cores podem se repetir. Se a ordem não importasse, aí seria outro cálculo completamente diferente. Confundir esses dois casos é o erro número um. Outro ponto que as pessoas nunca parecem entender direito: arranjo com repetição e combinação com repetição são coisas distintas. Combinação com repetição não considera ordem. A fórmula é C(n+k-1, k). Arranjo com repetição considera ordem. A fórmula é n^k. São espaços diferentes. Pior ainda, muitas apostilas apresentam os dois lados a lado sem enfatizar a diferença conceitual, e o aluno sai achando que precisa memorizar fórmulas parecidas. Na minha experiência, isso só gera erros em prova.

Tem um detalhe técnico que custa caro se você não prestar atenção: quando k > n, o resultado não muda de nature