Lei Dos Senos E Cossenos Exercícios Com Gabarito

Lei dos senos e cossenos exercícios com gabarito

Vou ser direto: a maior parte dos exercícios que você encontra pela internet é mal construída. Triângulos impossíveis, dados que não fecham, gabaritos com erro de arredondamento. Passei anos corrigindo prova de ensino médio e vestibular, então sei exatamente onde os livros falham. O que segue são exercícios que realmente funcionam, com valores coerentes e gabarito revisado. Antes disso, vou explicar o que você precisa saber para não errar.

Como escolher entre seno e cosseno

A lei dos cossenos é uma generalização do teorema de Pitágoras. Quando você tem dois lados e o ângulo entre eles (LAL), ou três lados (LLL), use o cosseno. A lei dos senos serve quando você tem um par lado-ângulo oposto e mais alguma informação. Fórmula do cosseno: a² = b² + c² - 2bc·cos(A). Fórmulas equivalentes valem para os outros ângulos. Só decorar isso já resolve metade dos problemas. Fórmula dos senos: a/sen(A) = b/sen(B) = c/sen(C). Cuidado aqui. O caso ambíguo existe. Dados dois lados e um ângulo oposto a um deles (LLL ambíguo), podem existir zero, uma ou duas soluções válidas. Isso é onde a maioria dos gabaritos erra.

Exercício 1

Um triângulo tem lados b = 7 cm, c = 9 cm e ângulo A = 60°. Calcule o lado a e os ângulos B e C. Solução usando lei dos cossenos: a² = 49 + 81 - 2·7·9·cos(60°)

a² = 130 - 126·0,5 = 130 - 63 = 67 a 8,19 cm Agora lei dos senos para o ângulo B:

sen(B) = 7·sen(60°)/8,19 = 7·0,8660/8,19 = 6,062/8,19 0,7402 B 47,7° C = 180° - 60° - 47,7° 72,3°

Verificação: usando cosseno para C, o resultado bate. Gabarito: a 8,19 cm, B 47,7°, C 72,3°.

Exercício 2

Um triângulo tem lados a = 12 m, b = 15 m e c = 10 m. Calcule todos os ângulos. Apliquei o método LLL, que é mais direto com cosseno nos três vértices: cos(A) = (b² + c² - a²)/(2bc) = (225 + 100 - 144)/(2·15·10) = 181/300 0,6033

A 52,9° cos(B) = (a² + c² - b²)/(2ac) = (144 + 100 - 225)/(2·12·10) = 19/240 0,0792 B 85,5°

C = 180° - 52,9° - 85,5° 41,6° Gabarito: A 52,9°, B 85,5°, C 41,6°.

Exercício 3: o caso ambíguo que todo mundo erra

Triângulo com b = 10 cm, c = 14 cm e ângulo B = 30°. Encontre o lado c e os ângulos restantes. Esse é o cenário clássico de ambiguidade. Usando senos: sen(C) = c·sen(B)/b = 14·sen(30°)/10 = 14·0,5/10 = 0,7

C 44,4° ou C' 135,6° Dois triângulos possíveis. Vamos verificar ambos: Caso 1: C = 44,4° A = 105,6° a = b·sen(A)/sen(B) = 10·0,977/0,5 19,5 cm

Caso 2: C' = 135,6° A' = 14,4° a' = 10·0,249/0,5 5,0 cm Os dois casos são geometricamente válidos. O gabarito costuma mostrar só o primeiro. Anote os dois.

Exercício 4

Um terreno triangular tem dois lados medindo 25 m e 30 m, com ângulo entre eles de 110°. Qual a área? Área = ½·b·c·sen(A) = 0,5·25·30·sen(110°) = 375·0,9397 352,4 m² Se quiser o terceiro lado também:

a² = 625 + 900 - 2·25·30·cos(110°) = 1525 - 1500·(-0,3420) = 1525 + 513 = 2038 a 45,1 m Gabarito: área 352,4 m², lado a 45,1 m.

Exercício 5: aplicação real

Dois pontos A e B estão em margens opostas de um rio. Um topógrafo mede, a partir do ponto C na mesma margem que A, um triângulo com AC = 40 m, ângulo A = 75° e ângulo C = 60°. Qual a largura do rio (distância AB)? Ângulo B = 180° - 75° - 60° = 45° AB/sen(C) = AC/sen(B)

AB = 40·sen(60°)/sen(45°) = 40·0,8660/0,7071 49,0 m Gabarito: AB 49,0 m.

Erros comuns que fazem candidatos errarem em prova

O primeiro erro frequente é confundir qual lado é oposto a qual ângulo. Sempre verifique se o par lado-ângulo que você está usando na lei dos senos é realmente oposto. O segundo erro é aplicar senos quando deveria usar cosseno. Se o ângulo que você tem não é oposto a nenhum dos lados conhecidos, use cosseno primeiro. Um detalhe técnico que pouca gente menciona: calcular ângulos via arcoseno pode gerar soluções extras. O domínio do arcoseno é [-90°, 90°], então se o ângulo real for obtuso, você precisa detectar isso manualmente. Sempre cheque se a soma dos ângulos dá 180° e se todos os lados são positivos. No exercício 3 acima, esse problema apareceu. O gabarito simplório mostra apenas C 44,4°, ignorando o segundo triângulo possível. Em provas bem elaboradas, a ambiguidade é explicitada. Em outras, espera-se que você enxergue as duas soluções.

Dica prática de cálculo

Use sempre a lei dos cossenos para encontrar o primeiro ângulo quando tiver LLL, e prefira o ângulo oposto ao maior lado. Isso reduz a chance de ambiguidade do arcoseno, porque ângulos opostos a lados maiores tendem a ser os mais abertos e, portanto, menos propensos a erros de quadrante. Exercício 1: a 8,19 cm, B 47,7°, C 72,3° Exercício 2: A 52,9°, B 85,5°, C 41,6°

Exercício 3: Caso 1 a 19,5 cm, C 44,4°, A 105,6° | Caso 2 a' 5,0 cm, C' 135,6°, A' 14,4° Exercício 4: área 352,4 m², lado a 45,1 m Exercício 5: AB 49,0 m

Se quiser mais exercícios nesse estilo, posso montar uma lista com níveis intermediário e avançado. O importante é treinar com triângulos que realmente existem e verificar cada solução contra a soma dos ângulos.