Mary Escreveu Um Livro Com 1536 Paginas

Como calcular a quantidade de dígitos usados para numerar as páginas de um livro

Você provavelmente se deparou com esse problema em algum exercício de matemática: mary escreveu um livro com 1536 paginas e precisei numerar todas as páginas dela. Quantos dígitos foram usados no total? Vou mostrar o raciocínio direto, sem enrolação. O truque é separar os números por quantidade de dígitos. Páginas de 1 a 9: são 9 páginas, cada uma com 1 dígito. Isso dá 9 dígitos.

Páginas de 10 a 99: são 90 páginas, cada uma com 2 dígitos. Isso dá 180 dígitos. Páginas de 100 a 999: são 900 páginas, cada uma com 3 dígitos. Isso dá 2.700 dígitos. Até aqui, o acumulado é 9 + 180 + 2.700 = 2.889 dígitos. Faltam ainda as páginas de 1.000 até 1.536.

Páginas de 1.000 a 1.536: são 537 páginas, cada uma com 4 dígitos. Isso dá 2.148 dígitos. Total final: 2.889 + 2.148 = 5.037 dígitos. Se a pergunta do exercício fosse inversa — dada uma quantidade de dígitos, descobrir quantas páginas o livro tem — você faria o processo ao contrário. Vamos mostrar como.

Método reverso: dado o número total de dígitos, encontrar a quantidade de páginas

Esse é o cenário mais comum em provas. Você recebe um número (digamos, 4.350 dígitos) e precisa descobrir até qual página a numeração chegou. O processo é simples: subtraia os blocos na ordem. Subtraia 9 (das páginas 1–9). Restam 4.341.

Subtraia 180 (das páginas 10–99). Restam 4.161. Subtraia 2.700 (das páginas 100–999). Restam 1.461. Agora, 1.461 dividido por 4 (páginas de 4 dígitos) dá 365 páginas inteiras, com resto 1.

Isso significa que você completou 365 páginas de 4 dígitos a partir da página 1.000. A última página completa é 1.364, e sobrou 1 dígito para a próxima página (1.365). O livro tem 1.364 páginas inteiras, com a 1.365 parcialmente numerada.

Um caso real que deu trabalho

Numa prova de olimpíada, eu vi uma versão onde a autora tinha escrito algo perto de 1.536 páginas, mas o enunciado pedia para contar apenas os dígitos pares usados na numeração. Apegar-se cegamente à fórmula padrão te leva a um beco sem saída ali, porque você precisa analisar cada faixa separadamente. A solução prática que eu uso é a seguinte: para cada faixa (1–9, 10–99, etc.), conte quantas vezes cada dígito aparece e some só os pares. Na faixa de 100 a 999, por exemplo, cada dígito de 0 a 9 aparece 300 vezes em cada posição (centenas, dezenas, unidades). Os dígitos pares são 0, 2, 4, 6, 8 — então são 5 dígitos pares × 300 = 1.500 aparições por posição. Multiplicando por 3 posições, temos 4.500 dígitos pares nesse intervalo. É trabalhoso, mas é direto. Para a faixa de 1.000 a 1.536, o dígito das milhares é sempre 1 (ímpar), então você só conta as centenas, dezenas e unidades, com uma quebra nos primeiros 537 números.

Erros comuns que todo mundo comete

O erro mais frequente é esquecer que a página 1.000 já entra na contagem de 4 dígitos. Muita gente calcula até 999 e para, achando que só existem 3 dígitos por página. O segundo erro é confundir "quantas páginas têm 4 dígitos" com "quantos dígitos existem na faixa de 4 algarismos". São coisas diferentes, e a diferença é exatamente o fator 4. Outro ponto que as bancas adoram cobrar é quando o número de dígitos total não fecha em uma divisão exata. Se sobrar resto após dividir pelo tamanho da faixa, você precisa ler o resto como parte de uma página adicional, e não como páginas inteiras extras.

Quando a técnica não funciona bem

Se o livro tiver uma numeração muito irregular — como capítulos numerados de forma independente, ou páginas iniciais com algarismos romanos — o método padrão perde o sentido. Nesses casos, o único caminho é somar manualmente ou escrever um script simples. Para livros acima de 10 mil páginas, também vale a pena automatizar, porque o risco de erro manual aumenta significativamente.

Resumo rápido para consulta

• Faixa 1–9: páginas × 1 dígito
• Faixa 10–99: páginas × 2 dígitos
• Faixa 100–999: páginas × 3 dígitos
• Faixa 1.000–1.536: páginas × 4 dígitos

Para o caso específico de mary escreveu um livro com 1536 paginas, a soma total de dígitos usados na numeração é 5.037. Se o exercício pedir outra coisa — como frequência de um dígito específico ou quantidade de dígitos pares — basta aplicar a mesma lógica de faixas, filtrando o que interessa.