Número De Diagonais De Um Polígono Exercícios

O que todo mundo esquece sobre diagonal de polígono

A fórmula é d = n(n-3)/2. Parece simples, e é. O problema é que a maioria dos exercícios que eu vejo nainternet ou nos materiais de revisão confundem diagonal com lado, ou esquecem de verificar se o polígono é côncavo antes de aplicar o cálculo. Eu já perdi tempo corrigindo prova de aluno que contou as diagonais de um polígono estrelado como se fosse convexo. Não funciona assim. Vou explicar do jeito que eu uso na prática, sem enrolação. Se você tá aqui pra resolver exercício de número de diagonais de um polígono exercícios, o caminho mais rápido é entender primeiro o que a fórmula realmente significa, não decorar o resultado.

Por que a fórmula funciona (e onde ela falha)

Cada vértice de um polígono consegue se conectar a n-3 outros vértices formando uma diagonal. Não consegue conectar a si mesmo, e não consegue conectar aos dois vértices adjacentes porque aí vira lado, não diagonal. Multiplica n por n-3 e divide por dois porque cada diagonal tem dois vértices e seria contada duas vezes se não fizesse essa divisão. O problema que eu encontrei na prática foi com um exercício que pedia o número de diagonais de um polígono onde um dos ângulos internos era maior que 180 graus. A fórmula continua válida para qualquer polígono simples, convexo ou côncavo. O erro comum é achar que polígono côncavo não tem diagonal, ou que a fórmula não se aplica. Ela se aplica. O que muda é que algumas diagonais ficam fora da área interna do polígono, mas elas ainda existem. Eu já vi material de ensino médio afirmar que a fórmula só vale para polígonos convexos. Isso é errado. O único caso em que a fórmula não vale é quando o polígono tem lados que se cruzam, tipo um polígono estrelado auto-intersectante. Aí a gente precisa de outro método.

Exercícios práticos de número de diagonais de um polígono exercícios

Vamos direto aos exemplos que realmente aparecem em provas e listas de exercícios. Exercício 1: Quantas diagonais tem um decágono? n = 10. d = 10(10-3)/2 = 10(7)/2 = 35 diagonais. Esse é o mais básico. em qualquer lista.

Exercício 2: Um polígono tem 54 diagonais. Quantos lados ele tem? Aqui é onde a coisa fica interessante. Você tem que resolver a equação n(n-3)/2 = 54. Multiplica tudo por 2: n² - 3n = 108. Passa tudo pro primeiro membro: n² - 3n - 108 = 0. Usa Bhaskara: delta = 9 + 432 = 441. Raiz de 441 é 21. n = (3 + 21)/2 = 12. O polígono tem 12 lados, ou seja, é um dodecágono. Note que a raiz negativa (-18) não faz sentido geométrico e deve ser descartada. Exercício 3: A quantidade de diagonais de um polígono regular é o quádruplo da quantidade de seus lados. Determine o número de diagonais.

d = 4n. Substitui na fórmula: n(n-3)/2 = 4n. Multiplica por 2: n² - 3n = 8n. n² - 11n = 0. n(n-11) = 0. n = 11 (descarta n = 0). Então d = 4(11) = 44 diagonais. Exercício 4: Em um polígono convexo, a soma do número de diagonais com o número de lados é igual a 65. Qual é o polígono? d + n = 65. Substitui d: n(n-3)/2 + n = 65. Multiplica por 2: n² - 3n + 2n = 130. n² - n - 130 = 0. delta = 1 + 520 = 521. Raiz de 521 não é exata, dá aproximadamente 22,8. n = (1 + 22,8)/2 11,9. Isso não dá um número inteiro, o que significa que não existe polígono convexo com essa propriedade. Se o exercício veio de uma lista, provavelmente há um erro de digitação no enunciado. Na minha experiência, exercícios com números que não fecham redondo geralmente têm dado errado no livro.

Pegadinhas que caem em prova

Uma pegadinha frequente é pedir o número de diagonais que partem de um único vértice. Aí a resposta não é a fórmula completa, é simplesmente n-3. Se o polígono tem 20 lados, de cada vértice saem 17 diagonais. Não 170. Já vi aluno marcar 170 em questão de múltipla escolha e perder ponto por isso. Outra pegadinha clássica: pedir a razão entre o número de diagonais de dois polígonos onde um tem o dobro de lados do outro. Se um tem n lados e o outro tem 2n lados, a razão não é 2. A fórmula não é linear. Por exemplo, um pentágono tem 5 diagonais. Um decágono tem 35. A razão é 7, não 2. Também é comum confundir a soma dos ângulos internos com o número de diagonais. São coisas completamente diferentes. Soma dos ângulos internos é (n-2) . 180. Diagonal é n(n-3)/2. Eu já vi aluno usar a fórmula do ângulo interno pra calcular diagonal e não perceber o erro porque o número final parecia plausível.

Dica prática que ninguém ensina

Quando o exercício envolve um polígono inscrito numa circunferência ou relacionado a uma estrela, pare e desenha. A visualização economiza mais tempo do que qualquer macete de memorização. Eu já corrigi dezenas de trabalhos onde o aluno aplicava a fórmula cegamente num polígono que na verdade não era simples, e o resultado estava completamente errado. Se o exercício pede algo sobre diagonais de um polígono regular e menciona ângulos formados entre diagonais que se cruzam no interior, aí a cosa muda. Aí você precisa saber que as diagonais de um polígono regular dividem o ângulo interno em partes iguais, mas isso é outro assunto. Foca no que foi perguntado. O número de diagonais de um polígono exercícios aparece bastante em concursos e no ENEM. O segredo não é decorar a fórmula, é saber quando ela se aplica e quando o enunciado está te passando uma armadilha. A maioria dos erros acontece por leitura apressada, não por falta de cálculo.