O Menor Número Natural De Três Dígitos Distintos

Encontrando o menor número natural de três dígitos distintos

O resultado imediato é 102. Parece simples demais, e é exatamente por isso que as pessoas erram. Vou explicar o raciocínio completo, porque tem uma pegadinha que aparece com frequência em listas de exercícios e em provas de seleção. Você começa contando a partir do menor número de três dígitos, que é 100. Mas 100 tem os dígitos 1, 0 e 0 — o dígito zero se repete, então não satisfaz a condição. O próximo candidato é 101, que repete o dígito 1. Só em 102 os três algarismos são realmente diferentes. Pronto, é isso. O raciocínio direto seria: o primeiro dígito (centena) precisa ser o menor possível, ou seja, 1. O segundo dígito (dezena) também precisa ser o menor disponível, e o 0 funciona porque ainda não foi usado. O terceiro dígito (unidade) precisa ser o menor que não apareceu nos dois primeiros lugares, logo é 2. A sequência montada fica 1-0-2.

Eu já vi muita gente marcar 100 em listas de múltipla escolha. O erro é assumirem que repetir zeros é aceitável, talvez por confundir com "números distintos" significando algo como "número único" em vez de "dígitos sem repetição". Já corrigi isso em dois grupos de estudo e ainda aparece em algumas listas de revisão que encontrei online. A correção é sempre a mesma: testar 100 e 101 explicitamente antes de chegar em 102.

A condição matemática formal

Um número natural de três dígitos pertence ao intervalo [100, 999]. A restrição adicional exige que a função f(n), que extrai os dígitos de n, produza três valores a, b, c onde a b, a c e b c. Encontrar o mínimo sob essa restrição significa minimizar a primeiro, depois b, depois c, porque a ordem posicional dos algarismos determina o valor numérico de forma hierárquica. O centésimo menor valor possível para a é 1 (não pode ser 0, senão deixa de ser um número de três dígitos). Para b, o menor valor disponível distinto de a é 0. Para c, o menor valor distinto de ambos os anteriores é 2. O resultado é 102.

Contraintuições comuns e armadilhas

A primeira pegadinha é achar que 021 ou 012 contam. Eles não contam porque têm dois dígitos efetivos, não três. Um número de três dígitos não pode começar com zero. A segunda pegadinha envolve confundir "menor número com dígitos distintos" com "maior número com dígitos distintos". Se a pergunta fosse o maior, a resposta seria 987, e o raciocínio inverso — maximizar cada posição da esquerda para a direita — produziria esse resultado. As pessoas que decoram a resposta 987 às vezes gravam o procedimento errado e aplicam na direção oposta, chegando a conclusões equivocadas em variações do problema. Também há quem pense em 1023 ou 1234, confundindo três dígitos distintos com quatro ou mais. O enunciado pede especificamente três algarismos, nada mais, nada menos.

Quando esse tipo de problema não funciona bem

O método de greedy (escolher o menor dígito disponível em cada posição, da esquerda para a direita) é rápido e funciona perfeitamente para encontrar mínimos e máximos com restrições de distintividade. Ele falha, porém, se você adicionar restrições extras como "o número deve ser divisível por 3" ou "os dígitos devem estar em ordem estritamente crescente". Nesse caso, 102 deixa de ser válido e você precisa testar candidatos manualmente ou usar busca sistemática. Em uma ocasião, precisei resolver uma variação onde os dígitos também precisavam ser ímpares, o que impossibilitava o uso do 0 e do 2. Aí a resposta mudou para 135, e o processo greedy simples só funcionou após ajustar o conjunto de dígitos permitidos antes de aplicar a estratégia.

O menor número natural de três dígitos distintos na prática

O valor final permanece sendo 102. A utilidade real desse exercício costuma estar em validar compreensão de posicionamento de algarismos e restrições de conjunto, não em si. Se você está estudando para uma prova, treine invertendo a condição: o maior número de três dígitos distintos seria 987, e o menor múltiplo de 5 com dígitos distintos seria 105. Esse último exige verificar terminação em 0 ou 5, então 100 falha pela repetição do zero e 105 é o primeiro que passa em todos os critérios.