Os Angulos Externos De Um Poligono Regular Medem 20

Resolvendo polígonos a partir dos ângulos externos

Muita gente trava na hora de ligar o valor de um ângulo externo à quantidade de lados de um polígono regular. Eu já vi isso acontecer com frequência em fóruns e em provas técnicas também. O problema é simples, mas as pessoas costumam complicar porque não lembram da propriedade fundamental ou confundem com os internos. Vou explicar do jeito que eu faria se estivesse ao lado da pessoa, sem rodeio.

o que significa quando os angulos externos de um poligono regular medem 20

Quando eu vejo essa informação, a primeira coisa que eu faço é verificar se o enunciado está se referindo ao valor de cada ângulo externo individual ou à soma. A frase "os ângulos externos de um polígono regular medem 20" normalmente quer dizer que cada um deles mede 20 graus. Isso é importante porque muda completamente a abordagem. Ora, aqui vai a regra básica que todo mundo deveria ter anotado numa post-it: a soma dos ângulos externos de qualquer polígono convexo, um de cada vértice, é sempre 360 graus. Isso vale pra triângulo, pra quadrilátero, pra qualquer n-láteros. Não depende do número de lados. A soma é constante. Então, se cada ângulo externo mede 20 graus, o número de lados é simplesmente 360 dividido por 20. Isso dá 18 lados. O polígono é um octadecágono. Não precisa de nada além disso.

Os ângulos internos, por sua vez, são suplementares aos externos no mesmo vértice. Então cada ângulo interno mede 160 graus. A fórmula geral pra soma dos internos seria (n-2) × 180, que pra n=18 dá (18-2) × 180 = 16 × 180 = 2880 graus. Dividindo por 18 vértices, cada interno realmente dá 160. A conta fecha. Eu já passei por uma situação em que um aluno me mostrou um exercício onde o enunciado dizia que a soma dos ângulos externos era 20 graus. Isso é geometricamente impossível num polígono convexo, porque a soma tem que ser exatamente 360. A primeira coisa que eu fiz foi pedir pra ele reler o problema. Descobriu-se que o 20 se referia ao ângulo interno, não ao externo. Confusão comum. Se você estiver resolvendo um problema e o número não bater com 360 na divisão, pare e releia. É muito provável que você tenha invertido interno com externo. Outro ponto que as pessoas erram bastante é achar que a medida do ângulo externo muda conforme o número de lados. Ela diminui conforme n aumenta, sim, mas a soma permanece 360. Quanto mais lados, mais o polígono se aproxima de um círculo, e os ângulos externos ficam menores, se aproximando de zero. Um polígono de 360 lados teria ângulos externos de 1 grau cada. Isso é útil pro raciocínio intuitivo.

Se você precisa encontrar o número de lados dado o ângulo externo, a fórmula direta é n = 360 / e, onde e é a medida do ângulo externo em graus. Se o resultado não for um número inteiro, então não existe um polígono regular com medida exata de ângulo externo. Já me deparei com problemas propositalmente armados assim, pra testar se o aluno percebe que a solução não é inteira e deve marcar "não existe" ou similar. Na prática, eu recomendo que você memorize apenas duas coisas: a soma dos externos é 360, e interno mais externo é 180 no mesmo vértice. Todo o resto é aplicação direta dessas duas regras. Não adianta decorar fórmulas de soma de internos ou diagonais se você não dominar isso primeiro. Um detalhe técnico que poucas fontes mencionam: essa propriedade da soma de 360 graus nos ângulos externos se aplica a qualquer polígono convexo, regular ou não. A ordem importa. Você pega um ângulo externo em cada vértice, todos no mesmo sentido de rotação, e some. Se o polígono for côncavo, a situação fica mais complicada porque alguns "ângulos externos" podem ser interpretados de formas diferentes dependendo da convenção usada. Num contexto escolar ou de concurso, quase sempre se assume convexidade. Se cair um polígono côncavo na prova, desconfie.

Resumo direto: se os ângulos externos de um polígono regular medem 20 graus cada, ele tem 18 lados. Ponto. O resto é consequência.