Quantas Centenas Pode Ser Formada

Formando centenas a partir de algarismos: o guia prático

Quando eu era estagiário num curso de matemática para o ensino fundamental, cheguei numa aula que pedia para listar todos os números de três algarismos possíveis com os dígitos 2, 5 e 8. A tarefa parecia simples até eu perceber que o professor esperava que o aluno enumerasse, classificasse e também calculasse quantos podiam ser formados quando a repetição era permitida ou proibida. É um exercício básico, mas com nuances que muita gente pula sem notar. O conceito central aqui é permutação e arranjo. Você tem um conjunto de algarismos disponíveis e precisa montar números de três dígitos, onde cada posição vale centena, dezena e unidade. O cálculo depende inteiramente de duas regras: se os algarismos podem se repetir e se há algum dígito proibido na posição das centenas (o zero, por exemplo). Vamos ao método. Se você tem três algarismos distintos, como 3, 6 e 9, e não pode repetir nenhum, o número de centenas formáveis é simplesmente 3! (três fatorial). Isso dá 3 × 2 × 1 = 6. A lista seria: 369, 396, 639, 693, 936, 963. Pronto. Se permitir repetição, cada posição pode receber qualquer um dos três algarismos, então a conta vira 3 × 3 × 3 = 27 números possíveis.

Agora o cenário mais comum que aparece em provas e exercícios: os algarismos são 1, 4, 7 e 0, sem repetição. Aí a coisa muda de figura porque zero não pode ficar na centena. Se eu calcular 4! direto, chegaria a 24, o que está errado. O correto é separar as posições. Na casa das centenas, só posso usar 1, 4 ou 7 — três opções. Depois de escolher a centena, sobram três algarismos para a dezena. E para a unidade, sobram dois. O resultado é 3 × 3 × 2 = 18 números. Esse erro de ignorar a restrição do zero foi o que me deixou marcada uma vez, quando corrigia listas de alunos e via todo mundo anotando 24 como resposta. Eu demorei uns dois dias pra entender o porquê do engano recorrente, e a partir daí sempre aviso: verifique se o zero está no conjunto antes de aplicar qualquer fórmula. Outro caso frequente envolve algarismos com repetição permitida, mas com o zero presente. Se o conjunto for {0, 2, 5} e quiser números de três algarismos permitindo repetição, a centena só pode receber 2 ou 5 (duas opções), enquanto dezena e unidade recebem qualquer um dos três. O total é 2 × 3 × 3 = 18. Parece contra-intuitivo no início, mas é só aplicar o princípio multiplicativo com as restrições corretas. Se os algarismos já vierem com repetições, como {2, 2, 5, 7}, o tratamento muda completamente. Você não pode mais usar permutação simples nem arranjo comum. O jeito é trabalhar com permutação com repetição ou então enumerar sistematicamente. Comece fixando cada dígito único na posição das centenas e, pra cada fixação, conte as permutações do restante levando em conta os dígitos repetidos. Fixando 2 na centena, restam {2, 5, 7}, o que dá 3! = 6 números. Fixando 5, restam {2, 2, 7}, então 3!/2! = 3 números. Fixando 7, sobram {2, 2, 5}, outro 3. Total: 6 + 3 + 3 = 12.

Uma informação que raramente aparece nos livros didáticos, mas que faz diferença na prática: quando o exercício pede quantos números ímpares podem ser formados, você precisa olhar para a unidade também. Voltando ao conjunto {1, 4, 7, 0} sem repetição, fixamos a unidade em 1 ou 7 (duas opções). Depois fixamos a centena entre os três restantes que não sejam zero — e aqui o cruzamento importa, porque se você já usou um dos ímpares na unidade, sobram dois ímpares e o zero para a centena, então três opções. Dezena recebe qualquer um dos dois que sobraram. O cálculo fica 2 × 3 × 2 = 12 números ímpares. Para quem quer automatizar esse tipo de cálculo, um script simples em Python resolve em segundos. Um laço que gera todas as combinações, filtra as que começam com zero e conta as únicas funciona bem quando os conjuntos são pequenos. Quando os conjuntos crescem ou há muitos algarismos repetidos, o melhor caminho é a biblioteca itertools com contagem por Pólya, mas isso já é outro nível de complexidade. Na maioria das situações do dia a dia, o princípio multiplicativo com análise de casos é suficiente e ainda evita erros de implementação. O ponto mais importante que eu deixei pra última parte é o que costuma derrubar a resposta: confundir arranjo com permutação, ou esquecer que zero restringe a primeira casa. Se você tratar cada posição com suas restrições individuais e aplicar o princípio multiplicativo passo a passo, a quantidade de centenas formáveis sai sem surpresas.