Quantos Numeros Primos Tem De 1 A 100

A peneira na prática

Você provavelmente já ouviu falar da Peneira de Eratóstenes, o algoritmo mais velho da humanidade pra encontrar primos. A ideia é simples demais pra parecer brilhante: pega uma lista de 1 a 100, risca o 1 (porque ele não é primo — isso é um erro que eu vejo todo dia em listas de exercícios e até em código de gente que deveria saber melhor), depois risca todos os múltiplos de 2 a partir do 4, em seguida os múltiplos de 3 a partir do 9, e assim por diante. Quando chega no 10, você para porque 11 já passou do limite da raiz quadrada de 100. O que sobrar são os primos. São 25. A lista completa é: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. Sim, o 2 é primo. Sim, é o único primo par. Sim, muita gente esquece disso na primeira vez que faz a peneira e acaba contando 24 em vez de 25, e depois passa meia hora tentando entender onde errou. Eu tinha um aluno meu que estava resolvendo um problema de criptografia simples pra uma competição estudantil e deixou o 2 de fora porque "bem, primo tem que ser ímpar, né?" Virou um problema inteiro mal resolvido por causa de um número. A correção foi sentar com ele e mostrar a definição clássica — um número natural maior que 1 que só é divisível por 1 e por ele mesmo — e deixar claro que o 2 obedece exatamente isso.

Tem uma coisa que livros didáticos raramente enfatizam mas faz diferença na prática: quando você roda a peneira, não precisa testar divisibilidade por números compostos. Se você já riscou os múltiplos de 2 e os múltiplos de 3, os múltiplos de 6 já foram riscados duas vezes. Isso reduz o trabalho pra algo em torno de sqrt(n) passos no limite superior, e não n passos como alguém faria num teste ingênuo de divisão sucessiva. Outro detalhe que eu sempre vejo gente errando: a contagem começa no 2, nunca no 1. O 1 não é primo por definição, e a razão histórica é que se o 1 fosse primo, a fatoração prima única — esse teorema que todo mundo aprende na escola e depois ninguém usa mais — deixaria de ser único. Dá pra escrever 6 como 2x3 ou como 1x2x3, e aí toda a estrutura quebra. Por isso 1 foi propositalmente excluído das definições modernas desde o século XIX pelo menos. Se você quiser automatizar isso, um script Python simples de três linhas resolve. Um laço que itera de 2 a 100, testa se algum divisor entre 2 e a raiz quadrada do número divide o alvo sem resto, e incrementa um contador. Mas pra 1 a 100 de verdade, a peneira manual é mais rápida que escrever e testar qualquer código, porque o overhead de setup já compensa.

Tem uma limitação prática que vale anotar: a peneira de Eratóstenes gasta memória proporcional a n. Pra 1 a 100 isso é irrelevante, mas se o objetivo for listar primos até 1 bilhão, você tá falando de quase 1 GB de RAM só pro array booleano. Nesses casos, a variante em segmentos ou o crivo de Atkins com otimizações de bit é o caminho, senão o problema vira um exercício de gerenciar memória em vez de resolver matemática. Então, resposta direta: quantos numeros primos tem de 1 a 100? 25. Se você chegou num número diferente, provavelmente esqueceu o 2 ou contou o 1. São os dois erros mais comuns que eu vejo em avaliações e em listas de discussão técnica.