Exercicios Permutação Com Repetição

Permutação com repetição: como funciona na prática

A fórmula é straightforward. Você tem um conjunto de elementos onde alguns se repetem, e quer saber de quantas formas diferentes eles podem ser organizados. A conta é fatorial do total dividido pelo produto dos fatoriais de cada grupo de repetição. Pronto. A maioria dos exercícios pede pra você aplicar isso direto em problemas de rearranjo de palavras, distribuição de objetos indistinguíveis ou organização de filas com pessoas idênticas. O problema é que os livros didáticos apresentam o tema de forma isolada, sem mostrar onde as coisas dão errado. Eu já vi gente calcular permutação com repetição em questões de combinatória avançada e esquecer que a fórmula original só se aplica quando TODOS os elementos do conjunto estão sendo usados. Se você está selecionando apenas parte deles, a coisa muda completamente e aí entra combinação com repetição ou simplesmente arranjo, dependendo do contexto.

exercicios permutação com repetição — exemplos práticos

Vamos começar com algo que aparece todo ano em concurso e prova: quantas palavras diferentes podemos formar com as letras da palavra BANANA? O total de letras é 6. O A aparece 3 vezes, o N aparece 2 vezes, o B aparece 1 vez. A conta fica P = 6! / (3! × 2! × 1!) = 720 / (6 × 2 × 1) = 60. Setenta e dois dividido por doze dá sessenta. Isso é trivial. O que mais cai é o exercício envolvendo dígitos de números. Por exemplo: quantos números de 6 dígitos podemos formar usando os algarismos 1, 1, 2, 2, 3, 3? Aqui há uma pegadinha que todo mundo erra. Se o enunciado permitir que o número comece com zero, aí vira um problema normal. Mas se não houver zero envolvido, é direto: 6! / (2! × 2! × 2!) = 720 / 8 = 90. Noventa e dez números possíveis. Outro clássico é o de distribuição de objetos indistinguíveis em caixas distinguíveis. Colocar 5 bolas idênticas em 3 caixas diferentes. Isso não é permutação com repetição, é combinação com repetição, e a fórmula é C(n+k-1, k) = C(7, 5) = 21. É comum estudantes confundirem esses dois modelos porque ambos envolvem repetição. A diferença fundamental é se a ordem importa. Na permutação com repetição, a ordem dos elementos no arranjo importa. Na combinação com repetição, só importa quantos objetos vão para cada grupo.

Eu tive um problema real com um cliente que precisava calcular permutações com repetição de strings muito grandes — uma string de 50 caracteres com cerca de 15 caracteres distintos aparecendo múltiplas vezes. O fatorial de 50 é um número astronômico, então a abordagem ingênua de calcular 50! e dividir trava qualquer calculadora comum. A solução foi fatorar tudo antes de multiplicar, usando decomposição em fatores primos. Eu decomponho cada fatorial envolvido em seus fatores primos, subtrai os expoentes do denominador dos expoentes do numerador, e só então multiplico o resultado. Isso reduz o tempo de cálculo de minutos para frações de segundo e evita overflow em qualquer linguagem.

Erros comuns que vejo todo dia

O erro mais frequente é tratar elementos distintos como se fossem indistinguíveis quando na verdade não são. Por exemplo, na palavra CASA, as duas letras A são idênticas, então divide-se por 2!. Mas se o enunciado especificar que são A maiúscula e A minúscula, ou duas letras A de palavras diferentes que acontecem ser iguais mas foram marcadas como distintas, você não divide por nada. A distinção importa quando o problema deixa claro que os elementos são tratáveis como únicos. Outro erro crônico é aplicar a fórmula quando há restrição de posição. Se um exercício diz que a primeira letra deve ser obrigatoriamente A, você não faz P(6; 3,2,1). Você fixa aquela posição, resta com 5 elementos e recalcula. No caso do BANANA com a primeira letra fixa em A, sobram 5 letras: A, A, N, N, B. O resultado é 5! / (2! × 2! × 1!) = 120 / 4 = 30. Trinta em vez de sessenta. A restrição corta o espaço amostral pela metade nesse caso específico. Tem também a armadilha dos zeros em números. Se você tem os dígitos 0, 0, 1, 2, 3, 4 e quer formar números de 6 dígitos, não adianta só aplicar a fórmula. Você precisa subtrair os casos em que o primeiro dígito é zero, porque aí não seria um número de 6 dígitos válido. Calcule o total com a fórmula, calcule quantos começam com zero fixando um zero na primeira posição e permutando os restantes, e subtraia. No caso dos dois zeros: total = 6! / 2! = 360. Começando com zero: fixa-se um zero, sobram 0,1,2,3,4 = 5! = 120. Resultado final = 360 - 120 = 240.

Quando a fórmula não resolve

Permutação com repetição pura só funciona quando todos os elementos do multiconjunto estão sendo utilizados em uma única sequência. Se o exercício pede arranjos de tamanho k a partir de um multiconjunto maior, a coisa fica muito mais complicada. Não existe uma fórmula fechada simples pra isso. Você precisa decompor o problema em casos: quantas vezes cada elemento repeado aparece na sequência parcial, e pra cada configuração possível calcular a permutação correspondente e somar tudo. Como exemplo concreto, imagine que você tem as letras {A, A, A, B, B, C} e quer formar sequências de tamanho 4. As possibilidades de composição são: 3A+1B, 3A+1C, 2A+2B, 2A+1B+1C, 2A+2C, 1A+2B+1C, 1A+1B+2C, 1A+3B (impossível porque só tem 2 B), e assim por diante. Pra cada combinação válida, você calcula a permutação com repetição daquele subset e soma. O resultado final é a soma de todos esses termos. Isso pode crescer rapidamente em complexidade, então quando o multiconjunto fica grande, a abordagem prática é usar programação dinâmica ou um script em Python que gera e soma automaticamente. A principal limitação desse método é que ele não escala bem manualmente. A partir de multiconjunto com mais de 8 elementos distintos e repetições variadas, o número de casos parciais cresce exponencialmente. Nesses cenários, a recomendação é abandonar o cálculo à mão e escrever um gerador que itere sobre todas as partições possíveis do multiset, aplique a fórmula de permutação com repetição em cada uma, e acumule o total. Um script simples de cerca de 20 linhas em Python resolve em menos de um segundo problemas que levariam horas feitos manualmente.

Dica técnica que economiza tempo

Antes de fazer qualquer conta, sempre verifique se os fatorais do denominador podem simplificar partes do numerador antes de calcular os valores completos. 8! / (3! × 2!) não precisa ser calculado como 40320 / 12. Você pode cancelar fatores: 8! = 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3!, então o 3! do denominador cancela com o 3! do numerador, restando 8 × 7 × 6 × 5 × 4 / 2! = 6720 / 2 = 3360. Essa simplificação prévia evita trabalhar com números enormes e reduz drasticamente o risco de erro de cálculo, especialmente em provas onde você não tem calculadora. Se o exercício pedir probabilidade envolvendo permutação com repetição, lembre-se de que o espaço amostral costuma ser a permutação simples de todos os elementos (sem repetição no denominador do espaço amostral, a menos que os elementos sejam realmente indistinguíveis). A probabilidade é o número de casos favoráveis dividido pelo total de casos. Confundir o espaço amostral é a segunda maior causa de erro depois de esquecer de dividir pelos fatoriais de repetição. A matemática combinatorial é mais sobre entender o que está contando do que decorar fórmulas. Permutação com repetição ébasicamente a contagem de ordenações distintas de um multiset. Tudo que envolve esse conceito pode ser resumido a essa ideia. Se você conseguir visualizar o que está permutando, o resto segue natural.